亲历数学学习过程   润泽数学思想方法

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发表时间:2017-10-14 15:27


亲历数学学习过程   润泽数学思想方法

——在数学教学中培养学生数学思想的几点尝试

摘要:根据我们的教学实践,发现学生在课堂上不仅可以发现规律,而且还可以探究其算理,即“为什么”的道理,并且在探究的过程中还能体验一些数学的思考方法。从而切实体会到运用优化策略解决问题的有效性,同时感受数学的魅力。

关键词:数学思想;模型;优化;试小数;探首次;缩范围;取大数。

  

新《数学课程标准(修订稿)》指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验……运用数学的思维方式进行思考……。”新课标指出课程内容的组织要注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握,并明确强调要重视过程,处理好过程与结果的关系,引导学生感悟数学思想,积累数学活动经验。这体现了对课改以来教学实验研究成果的充分肯定,以及对改革实验过程出现的一些偏差的纠正。数学思想方法、数学活动经验不是“教”出来的,也教不出来。前者必须在经历探索和解决问题的过程中领悟,后者则要在“做”的过程中逐步积累。下面以《找次品》教学为例谈谈在数学教学中培养学生数学思想方法的几点尝试。

《义务教育课程标准实验教科书》五年级下册数学课本“数学广角——找次品”与其它小学数学内容有很大的不同,本课以“找次品”这一探索性操作活动为载体,让学生通过观察、猜测、实验等方式感受解决问题策略的多样性,渗透优化思想,内容蕴含着华罗庚教授所创立的“优选法”的数学思想和方法,优选法是一种用尽可能少的试验次数,迅速求得最佳方案的科学方法。因此教学《找次品》除了引导学生探讨“保证找到次品的次数”外,培养学生良好的数学思维能力,渗透数学思想方法也是本节课的重要目标之一。

根据笔者的观察,在人教版五年级数学广角《找次品》的教学中,许多老师教学目标的定位只是让学生探讨在利用天平称物的过程中,通过不同称法的比较,初步感知只有把物品平均分成三份来称,这样才能保证找到次品所需要称的次数最少的现象;通过观察、猜测、实验、推理等活动,初步体会解决问题策略的多样性及优化的数学思想方法。其实根据我们的教学实践,发现学生在课堂上不仅可以发现这个规律,而且还可以探究其算理,即为什么只有把物品平均分成三份来称,才能保证找到次品所需要称的次数最少的道理,并且在探究算理的过程中还能体验一些数学的思考方法,从而切实体会到运用优化策略解决问题的有效性,同时感受数学的魅力。为此,我们做了以下一些尝试:

一、模拟实验   体悟模型思想    

起始试教,我们采取以学生用学具天平试验“天平平衡与不平衡”的原理,小组讨论,全班交流为主的教学方式。试教表明,占时过多,收效甚微。继后试教改为在教师引导和帮助下,学生借助天平图,运用学具(5个围棋子)模拟称的过程,进而推测出所需要称的次数教学方式,收到较为理想的教学效果。在模拟试验过程中,学生需要动用形象思维,而形象思维的基础是形象记忆。为了使每个学生脑海里都装一台天平,我们充分利用例1的情景图。当学生理解题意后,银幕上演示天平平衡状态图,如下图:



(注:一个口表示一瓶钙片)

   学生看图思考:从图中看,谁知道次品在哪里?请说说理由。因为天平平衡(板书:平衡)说明天平左右两边都是正品,次品是在天平外的那瓶。

   接着运用动画原理,银幕上的天平渐渐地向左倾,如下图:




(注:一个口表示一瓶钙片)


引导学生观察后,问:现在天平还平衡吗?不平衡。(板书:不平衡)现在次品又在哪里呢?你们是怎么知道次品在天平右边那一份里?继之,将天平恢复平衡后,又慢慢地把天平向右倾斜,如下图:




(注:一个口表示一瓶钙片)

次品又在天平的哪一边?

由于学生有了天平的形象记忆,为后续引导学生研究更多的待测物品时提供了抽象思维和形象思维交叉使用的基础。分析、思考问题时大脑随时就会浮现天平的平衡与不平衡的两种形象。在此实验活动经验基础上,学生初步建构起把待测物品的数目分为(x,x,……)的数学模型。

模拟实验的方法从一年级数学教学就已开始渗透,如:小明排队,他的前面有4个人,后面有3个人,这队共有几人?学生往往无法正确解答,这时运用模拟排队的方法就能引导学生顺利理解,正确解答。又如在三年级“搭配问题”教学中:2名导游和3名同学拍照,每个导游分别与一名同学照一张,一共要拍多少张?我请学生扮演导游,模拟拍照过程,从而领悟有序思考的方法。在尝试模拟实验的过程中,也领悟了模型思想。

二、化繁为简  渗透优化方法

1. 优化方法一——“试小数”

当学生面临从729个或2187个乃至更多零件中找出其中1个稍轻(或稍重)的次品至少需要在天平上称几次的问题时,这其中的奥秘显然无法一眼就窥测出来。因此我们在创设了这样一个问题情境的基础上适时引导学生认识:为了研究的方便,可以从一个较小的数开始探索,从较小的数开始探索,我们称之为“试小数”,例如从9开始,以后再逐步扩展到更大的数。这样就可以化抽象为形象,化复杂为简单。数学中这叫做“特例法”,在不完全归纳法中经常会用到。在解决“植树问题”、“鸡兔同笼”问题时,我们也可运用“试小数”的方法来探究问题。

2. 优化方法二——“探首次”

类推是数学中常用的一种思考方法,在“找次品”的教学中应用得也很明显。例如通过用天平称的方法寻找次品时往往不止需要称一次,但我们却常常可以把第一次称的时候怎么分的方法应用到以后各次称的过程中去,以此类推出以后各次称得的情况或结果,所以在这种情况下找出第一次是怎么称的规律就显得格外重要,因为它是以后各次类推的样板和基础。教学中我们把重点放在引导学生探讨第一次该怎么称的方法是最好的这个问题上,我们称之为“探首次”。引导学生认识:如果我们从第一次开始就能找到一种好的称法并加以推广,那用这种称法所得的最终结果肯定也是最好的。在组织学生探讨第一次应该怎么称的问题时我们集中力量引导学生研究了应该分成几份、分成怎样的几份、为什么应该这样分等问题。又比如在放手让学生探讨从9个零件中(内含1个次品)找次品有几种称法的过程中让学生感受到把9个零件分成5份(2、2、2、2、1)或9份(1、1、1、1、1、1、1、1、1)没有什么意义,关键是看天平的两端第一次是怎么放的?(2、2、2、2、1)分成5份的分法和(2、2、5)分成3份的分法实质上是一样的,因为第一次称的时候天平两端都是各放2个零件,未称的部分事先分与不分,并不直接影响这两种分法最终所需要称的次数。

3. 优化方法三——“缩范围”

比较是数学中常用的思考方法,离开比较学生不容易看到问题的症结,不容易发现事物的本质特征。在有关找次品的问题中,零件必须分成三份且是相等的三份这是称的次数所以最少的根本原因,要让学生发现它是很困难的,而为什么只有这样分才能使称的次数最少的道理就更难理解了,这只有通过比较才能达到目的。教学中我们组织学生操作并进行了两次比较,一次是分成3份和分成4份、5份……的比较,让学生在操作比较中感受并发现“分成3份”有只要称一次就能知道次品是在哪一份的好处,且不必把所有的零件都拿来称。第二次是把同样都是分成3份、但是分法不同的称法进行比较,让学生感受并发现只有平均分成3份或接近平均分成3份时,才能把次品的范围缩到最小,从而使得下一次称的数量也最少。由此教学中学生体验了另一种思考方法,即“缩范围”,意思是说在思考问题时应考虑每一次都把目标(次品)所在的范围或数量尽可能缩到最小,例如同样都是26个零件,在(8、8、10)(10、10、6)和(9、9、8)三种分法中,第一次称完后次品的范围分别缩小为10个、10个、9个,所以(9、9、8)的分法为最佳,找到次品所需称的次数最少。

4.优化方法四——“取大数”

必须考虑最不利的情况,这也是数学思考中常常要用到的原则。在探讨保证找到次品至少需要称几次的问题中,为了一定要找到次品,就必须考虑各种最不利的情况。例如在平均分成3份的假设中,如果天平两端平衡可能怎样,如果不平衡又可能怎样;如果零件总数不能平均分成3份时又应该怎么办;在(8、8、10)、(10、10、6)等不同的分法中,为什么都必须考虑在每一种分法中次品可能是在10里面时还要称几次的情况,由此我们又引出了在每一种称法中必须取大数以作为下一步继续称量时必须考虑的依据的方法,即“取大数”。

三、合理抽象  培养符号意识

如何表述用天平称的过程呢?适时合理的抽象很重要,图示则是一种很好的表达方式,这方面数学教学参考书和教科书为我们提供了范例。如从10个零件中找出1个次品的树形示意图:

                                       平衡:4(1,1,2)

10——(3,3,4)天平两边各放3个

                                      不平衡:3(1,1,1) 2次                                                    


但这样的图示过程比较繁杂,书写也费时间,冲淡了思路,一部分学生会感到一头雾水,产生畏难情绪而失去学习兴趣。试教后我们对上面图示过程作了适当简化,如:

平:4(1,1,2)

10(3,3,4)      

不平:3(1,1,1)  2次

把文字叙述改用符号表示。如“天平两边各放3个”,用一道横杆表示,一道横杆同时还表示称一次。这样,便于累计出称的最后结果。另外,把“平衡”缩写为“平”,把“不平衡”缩写为“不平”,取消破折号——,把待测物品数目写在括号前。经过这样的改进,图示过程简单明了,突出了解题的分析,思考过程。简单、快速是数学教学的一个培养目标,体现了“数学化”优越性,有助于培养学生的符号意识。学生的符号意识也应当从一年级开始有意识地加以培养,如小明排队的问题,可引导学生用图形或符号画一画:□□□□□□□。经历这样的过程,学生的数学素养自然得到提高。

综上所述,我认为一节好的数学课必须多从数学思想方法的培养方面考虑对学生进行熏陶,智慧往往表现在过程中,有关过程的东西只有通过过程来教;亲历数学学习过程,润泽数学思想方法是现代课堂不可或缺的追求,因为这才是提高学生数学素养的根本,学生在获取数学基础知识与数学基本技能的过程中,发展数学能力,感悟数学思想和方法,同时,数学能力与数学思想、方法为正确和高效地获取数学基础知识与基本技能提供了必要保证。基于这样的数学教学,必然获得教学的“长效”,必然能确保学习者学习的“后劲”。

参考资料:

《审视课堂——张齐华与小学数学文化》张齐华著  (北京师范大学出版社)